|
Физико-механический факультет
Лекции П.А.Жилина
Лекции Е.А.Ивановой
- Механика упругих стержней. Курс представляет собой изложение динамической теории тонких пространственно изогнутых и естественно
закрученных термоупругих стержней. Излагаемая теория стержней была построена П.А. Жилиным в 1987-2005 гг и изложен в монографии
Прикладная механика.
Теория тонких упругих стержней..
Теория стержней П.А. Жилина учитывает все основные
виды деформации: изгиб, кручение, растяжение, поперечный сдвиг. Метод построения теории
стержней П.А. Жилина принципиально отличается от известных
методов и легко переносится на другие объекты механики сплошных сред.
Излагаемая теория включает в себя все известные варианты теории стержней, но обладает более
широкой областью применимости. В отличие от всех известных теорий, теория стержней
П.А. Жилина описывает экспериментально открытый эффект
Пойнтинга, состоящий в укорочении стержня при его кручении.
- План лекций
- Вывод уравнений динамики упругих стержней
- Геометрия упругого стержня.
- Кинематика упругого стержня.
- Динамические структуры стержня: количество движения, кинетический момент и кинетическая энергия. Погонная плотность и тензоры инерции стержня.
- Векторы усилий и моментов. Уравнения динамики стержня.
- Вывод соотношений упругости, определение тензоров жесткости
- Уравнение баланса энергии. Тензоры деформации. Соотношения Коши-Грина.
- Обобщенная теория симметрии тензорных величин. Определение структуры тензоров жесткости.
- Определение упругих модулей путем сравнения с трехмерной теорией.
- Обсуждение классической теории стержней, теории стержней типа Тимошенко,
теории пространственно изогнутых стержней, теории стержней с естественной круткой
- Классическая теория стержней.
- Теория стержней типа Тимошенко.
- Теория пространственно изогнутых стержней.
- Теория стержней с естественной круткой.
- Решение простейших задач статики и динамики стержней
- Решение задач линейной теории стержней.
- Решение простейших нелинейных задач теории стержней.
- Задачи об устойчивости равновесного положения.
- Практические занятия
- Вывод уравнений динамики упругих стержней
- Криволинейные координаты. Естественный базис.
- Вычисление тензоров инерции стержней из однородного материала.
- Вывод соотношений упругости, определение тензоров жесткости
- Дифференцирование скалярной функции по векторному аргументу.
- Теория симметрии полярных и аксиальных тензорных величин.
- Теория симметрии n-ориентированных тензорных величин.
- Обсуждение различных вариантов теории оболочек
- Упражнения не предусмотрены
- Решение простейших задач теории оболочек и теории пластин
- Решение статических задач линейной теории стержней.
- Решение динамических задач линейной теории стержней.
- Решение простейших нелинейных задач.
- Курсовая работа
- Расчет статического и динамического деформирования стержня под действием внешней нагрузки,
определение коэффициента динамичности. В результате выполнения задания студенты должны овладеть
методом построения решения в форме рядов по формам свободных колебаний..
- Механика упругих оболочек. Курс включает в себя общую теорию простых оболочек и теорию оболочек постоянной толщины.
Главное внимание уделяется изложению метода построения теории оболочек. Курс лекций основан на монографии:
П.А.Жилина Прикладная механика.
Основы теории оболочек. Излагаемый метод был разработан
П.А. Жилиным в 1975-1984 гг. Метод П.А. Жилина
принципиально отличается от всех известных вариантов построения теории оболочек
и легко переносится на другие объекты механики сплошных сред.
Главная особенность метода в том, что с его помощью можно изучать объекты типа оболочек
сложного внутреннего строения, т.е. в тех случаях, когда традиционные методы построения
теории оболочек не применимы. Для оболочек постоянной толщины из изотропного
материала метод П.А. Жилина ведет к результатам,
которые хорошо согласуются с полученными классическими методами и дают превосходное
согласие с трехмерной теорией упругости при любых внешних воздействиях, включая сосредоточенные силы.
- План лекций
- Вывод уравнений динамики упругих оболочек
- Геометрия упругой оболочки
- Кинематика упругой оболочки.
- Динамические структуры оболочки: количество движения, кинетический момент и кинетическая энергия. Поверхностная плотность и тензоры инерции оболочки.
- Тензоры силовых и моментных напряжений. Уравнения динамики оболочки.
- Вывод соотношений упругости, определение тензоров жесткости
- Уравнение баланса энергии. Тензоры деформации. Соотношения Коши-Грина.
- Обобщенная теория симметрии тензорных величин. Определение структуры тензоров жесткости.
- Основы теории размерности и ее применение для определения зависимости тензоров жесткости от размерных величин.
- Определение упругих модулей путем сравнения с трехмерной теорией.
- Обсуждение различных вариантов теории оболочек
- Теория оболочек 12-го порядка. Нанооболочки.
- Теория оболочек 10-го порядка. Соотношения между перемещениями и напряжениями в теории оболочек и в трехмерной теории упругости.
- Классическая теория оболочек Кирхгофа-Лява.
- Теория пластин Рейсснера и классическая теория пластин Кирхгофа.
- Решение простейших задач теории оболочек и теории пластин
- Решение задач динамики пластин.
- Решение задач о статическом деформировании цилиндрических оболочек.
- Решение задач о статическом деформировании сферической оболочки.
- Практические занятия
- Вывод уравнений динамики упругих оболочек
- Криволинейные координаты. Неортогональный базис. Взаимный базис.
- Цилиндрическая и сферическая системы координат. Дифференцирование базисных векторов. Оператор градиента.
- Криволинейные координаты на поверхности оболочки. Метрические тензоры.
- Вычисление тензоров инерции оболочек из однородного материала.
- Вывод соотношений упругости, определение тензоров жесткости
- Дифференцирование скалярной функции по векторному и тензорному аргументам.
- Теория симметрии полярных и аксиальных тензорных величин.
- Теория симметрии n-ориентированных тензорных величин.
- Обсуждение различных вариантов теории оболочек
- Упражнения не предусмотрены
- Решение простейших задач теории оболочек и теории пластин
- Решение задач динамики пластин.
- Решение задач о статическом деформировании цилиндрических оболочек.
- Решение задач о статическом деформировании сферической оболочки.
- Курсовая работа
- Расчет статического деформирования оболочки под действием внешней нагрузки. В результате выполнения задания студенты должны овладеть методом асимптотического интегрирования уравнений теории оболочек.
- Динамика твердого тела. Цель дисциплины — дать общее представление о методах
динамики твердого тела и области применения рассматриваемых в ней задач, обучить студентов
применению тензорных методов описания спинорных (вращательных) движений, дать представление
об уровне сложности “элементарных” задач динамики твердого тела и об особенностях их решения с
использованием различных методов динамики твердого тела, обучить студентов методам вывода
уравнений динамики твердого тела и системы тел, нахождения разрывных решений и их интерпретации,
интегрирования уравнений малых колебаний твердых тел, а также нахождения положений равновесия и
стационарных движений твердых тел и исследования их устойчивости. Преимущество тензорных методов
перед другими методами динамики твердого тела заключается в том, что они применимы не только в
динамике твердого тела, но и при решении задач совместной динамики абсолютно твердых и континуальных тел,
а также при построении континуальных моделей с вращательными степенями свободы.
- План лекций
- Роль и место динамики твердого тела в физико-математических науках и инженерной практике
- Начальный этап развития динамики твердого тела. Формулировка Эйлером уравнений движения твердого тела.
Тензор инерции. Вращение твердого тела вокруг центра масс и вокруг точки, не совпадающей с центром масс
(связь между тензорами инерции). Углы Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера. Динамические уравнения Эйлера.
- Динамика твердого тела в инженерной практике. Методы экспериментального определения
тензоров инерции твердых тел. Объяснение гироскопического эффекта на примере быстро вращающегося волчка.
Гироскопический эффект у вращающегося продолговатого снаряда; у винтовых самолетов; в турбинах,
установленных на судах. Гироскопические устройства в технике: гироскопический компас, гироскопические
управляющие устройства, гироскопические стабилизаторы. Механика космического полета.
Динамика центрифуг и ультрацентрифуг.
- Динамика твердого тела как математическая наука. Поиски точных аналитических решений.
Создание и развитие математического аппарата кинематики твердого тела: ортогональные матрицы,
кватернионы, спиновые матрицы Паули, параметры Кейли-Клейна и Родрига-Гамильтона (краткий обзор).
Развитие методов аналитической механики применительно к задачам динамики абсолютно твердого тела:
уравнения Лагранжа, консервативные задачи и уравнения Гамильнота, циклические координаты и уравнения
Рауса, неголономные задачи и уравнения Аппеля (краткий обзор). Использование математических методов,
разработанных при решении задач динамики твердого тела, за пределами этой науки.
- Тензорные методы в кинематике спинорных движений
- Тензор поворота и вектор поворота. Различные способы представления тензора поворота:
представление через единичные векторы, представление Эйлера, представление через вектор поворота,
представление в виде композиции тензоров поворота. Правило квази-перестановочности тензоров поворота.
Тензор и вектор малого поворота. Коммутативность векторов малого поворота и некоммутативность векторов
конечного поворота.
- Правый и левый векторы угловой скорости. Правый и левый тензоры спина правая и левая угловые скорости.
Уравнения Пуассона. Определение поворота по угловой скорости (задача Дарбу).
Угловые скорости композиции поворотов. Связь угловых скоростей с вектором поворота.
Тензор-интегратор. Метод возмущений на множестве ортогональных тензоров.
- Относительные повороты. Замена систем отсчета. Принцип материальной объективности.
Объективность потенциалов взаимодействия типа Леннарда-Джонса и их обобщений на случай
частиц с вращательными степенями свободы. Переменные, от которых могут зависеть обобщенные
потенциалы типа Леннарда-Джонса.
- Некоторые задачи динамики твердого тела, допускающие точные аналитические решения
- Случай Эйлера, симметричное тело.
- Случай Эйлера, несимметричное тело.
- Случай Лагранжа. Волчок на плоскости (подвижная точка опоры).
- Движение твердого тела в центральном поле тяготения.
- Вращение симметричного тела с учетом вязкого трения. Простейший случай: момент
трения пропорционален вектору кинетического момента.
- Задача о движении шара по шероховатой плоскости.
- Вращение симметричного тела под действием следящего момента.
- Вращение симметричного тела под действием мертвого момента.
- Задача о вращении тела с шаровым тензором инерции на изотропном упругом основании.
- Аналогия между динамикой твердого тела и статическим изгибом стержней.
- Модельные задачи динамики твердого тела и системы
- Модели с Кулоновым трением. Разрывные решения в динамике твердого тела.
Интерпретация мгновенной остановки тела конечной массы. Парадоксы Пенлеве.
- Модель тела-точки общего вида. Тело-точка и его динамические структуры. Размерность тела-точки.
Сравнение с абсолютно твердым телом бесконечно малого размера. Колебания тела-точки,
контактирующего с бесконечной упругой средой. Трактовка силы и момента вязкого трения.
- Модель квази-твердого тела. Динамические структуры квази-твердого тела (мультироторного гиростата).
Предельный переход к классическому твердому телу. Принцип телеобъектива.
- Модель твердотельного осциллятора. Потенциальный момент. Уравнения движения.
Парадокс Николаи. Регулярная прецессия твердотельного осциллятора.
- Модель однороторного гиростата на упругом основании. Уравнения движения. Стационарные вращения ротора.
Движения гиростата с неуравновешенным ротором при малых углах поворота несущего тела.
- Модель двухроторного гиростата на упругом основании. Уравнения движения. Случай малых поворотов несущего тела.
- Литература:
- Изложение новых подходов к решению задач динамики твердого тела, основанных на
использовании аппарата прямого тензорного исчисления, основано на книгах:
- Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве СПб: Нестор, 2001. 276 с.
- Жилин П.А. Теоретическая механика (фундаментальные законы механики) Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с.
- Изложение традиционных методов динамики твердого тела основано на книгах:
- Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматлит. 1961. 824 с.
- Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. Изд-во Едиториал УРСС. 2004. 504 с.
- Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит. 2001. 320 с.
- Николаи Е.Л. Теория гироскопов. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат. 1948. 172 с.
- Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. Изд-во ЛКИ. 2007. 112 с.
- Белецкий В. В.Регулярные и хаотические движения твердых тел. Изд-во РХД. 2007. 132 с.
Лекционный материал, носящий обзорный характер, представлен в презентации
Механико-машиностроительный факультет
Лекции А.В.Костарева
|
