Сайт П.А.Жилина

Жилин П.А., Сорокин С.А. “Мультироторный гиростат на нелинейно упругом основании” // ИПМаш РАН: Препринт 140, 1997. 83 с.

Мультироторный гиростат на нелинейно упругом основании

Хорошо известна роль, которую играют в механике и физике разного рода модели. В ньютоновской механике, т.е. в механике систем материальных точек, наиболее фундаментальной принято считать модель нелинейного осциллятора или точечной массы на нелинейно упругой пружине общего вида. В практическом плане огромное число полезных результатов можно получить на основе простейшей модели линейного осциллятора. Вместе с тем развитие механики и физики в XX веке со всей очевидностью показало, что существующих модельных представлений недостаточно для адекватного описания целого ряда явлений. Уже в начале этого века высказывались суждения о необходимости построения модели многоспиновой частицы. Частицы такого рода вводились в квантовой механике, но это сопровождалось принятием допущений, которые трудно примирить с классическими представлениями. За прошедшее столетие в механике также произошли существенные изменения. Прежде всего, эти изменения связаны с переходом на постулаты эйлеровой механики. В последней место материальной точки ньютоновской механики заняло абсолютно твердое тело — точка, т.е. односпиновая частица. Существенно, что наряду с трансляционными движениями в эйлеровой механике на паритетных началах введены в рассмотрение спинорные движения, описывающие вращения точечных частиц. Спинорные движения устраняют одно из главных противоречий квантовой механики, в которой частицы обладают спином, но движения, порождающие спины, отсутствуют. Для многих целей модель односпиновой частицы оказывается уже недостаточной и приходится вводить в рассмотрение многоспиновые частицы. Простейшим примером последней является гиростат, т.е. твердое тело с встроенными в него роторами, обладающими независимыми скоростями вращения. При вращении роторов вокруг собственных осей распределение масс в теле не меняется — это и есть главный признак, в соответствии с которым рассматриваемая конструкция называется гиростатом. В технике применяются гиростаты, которые закреплены на разного рода упругих основаниях. Гиростат на упругом основании может быть назван твердотельным осциллятором. Последний является фундаментальной моделью в динамике многоспиновых частиц — науке, возникшей совсем недавно и развиваемой в С.-Петербургском государственном техническом университете и ИПМаш РАН. В настоящее время еще трудно судить о том, насколько полезной для механики и физики окажется модель многоспинового твердотельного осциллятора. Однако тот факт, что именно эта модель постоянно возникает в умах многих ученых на протяжении уже целого столетия, указывает на необходимость ее детального изучения. В этой связи возникает вопрос: “Если модель твердотельного осциллятора столь важна, то почему она до сих пор фактически не представлена в ясной математической форме в научных публикациях?” Ответ, вероятно, будет очевиден только тем, кто хорошо знаком с динамикой твердого тела. Этот раздел принято считать одним из наиболее сложных в механике. В качестве иллюстрации возьмем такой пример. Сначала рассмотрим простейшую задачу ньютоновской механики: в инерциальной системе отсчета дана материальная точка и указано ее положение и скорость в начальный момент времени t = 0, требуется указать ее движение при t > 0 и отсутствии внешних сил. Только очень нерадивые школьники не знают решения этой задачи. Теперь рассмотрим простейшую задачу эйлеровой механики (динамики многоспиновых частиц): в инерциальной системе отсчета дано абсолютно твердое тело с произвольным тензором инерции, центр масс покоится; при t = 0 заданы его положение и угловая скорость, а требуется указать как будет поворачиваться тело при t > 0 в отсутствии внешних полей. Только очень немногие специалисты смогут правильно ответить на этот простейший (!) вопрос без предварительного анализа сложных эллиптических интегралов. Между прочим, этот вопрос часто не по силам даже мощным компьютерам, если пользоваться приводимыми в учебниках выражениями. Проблема здесь вовсе не в сложности построения точных решений нелинейных уравнений. Например, для нелинейного уравнения Дуффинга с трением нельзя построить точного решения, но качественное поведение осциллятора Дуффинга с трением легко представит себе даже хороший студент, не говоря уже специалистах, и при том без всякого интегрирования.Повороты твердого тела, в противоположность указанному случаю, воспринимаются нашей интуицией с большим трудом и только после специальной тренировки. Например, у многих студентов (людей с неиспорченной образованием интуицией) вызывает немалое изумление тот факт, что в случае знаменитой регулярной прецессии ось вращения тела и ось поворота тела ортогональны между собой. В классической динамике твердого тела роль поворотов относительно невелика, главную роль играют вращения, т.е. угловые скорости. При рассмотрении твердотельного осциллятора на первый план выдвигаются именно повороты, поскольку внешние поля (в частности упругое основание) реагируют как правило на повороты, а не угловые скорости. Именно недостаточно эффективное описание поворотов в классической динамике твердого тела породило ряд специфических проблем. Продолжим сравнение ньютоновской механики с динамикой Эйлера. Всем хорошо известно, что такое потенциальная сила. Аналогичный вопрос из эйлеровой динамики: как определить общий вид потенциального момента? Найти ответ в литературе не удалось. Но без ответа на этот вопрос об общей постановке задачи о твердотельном осцилляторе и нечего и думать. Из уже сказанного, видимо, ясно, что отсутствие модели твердотельного осциллятора в литературе отнюдь не является простым упущением. Речь идет о достаточно серьезных изменениях или, лучше сказать, дополнениях, которые совершенно необходимы при построении динамики многоспиновых частиц. Именно этому и посвящена данная работа. Математики, специалисты по нелинейным дифференциальным уравнениям найдут в ней весьма интересные и необычные по форме уравнения, анализ которых еще впереди. В качестве обзора в работе приведен довольно обширный список литературы, где рассматриваются обсуждаемые или близкие к ним вопросы.