Сайт П.А.Жилина

Новые решения классических задач

Получено (1995) новое решение [1, 2] классической задачи о свободном вращении твердого тела вокруг неподвижного центра масс (случай Эйлера). Показано, что для каждого тензора инерции тела вся область начальных данных разбивается на две подобласти. Известно, что не существует такой системы параметров, чтобы одной картой без полюсов покрыть всю область начальных данных. Этот факт подтвержден и в работе [2], где в каждой из двух подобластей и для границы раздела тело вращается вокруг различных осей, которые зависят только от начальных данных. Внутренним точкам упомянутых подобластей отвечают устойчивые вращения тела, а границе раздела отвечают неустойчивые вращения. При построении решения существенную роль играет описанная выше теорема о представлении тензора поворота. В конечном счете все искомые характеристики выражаются через одну функцию, определяемую быстро сходящимся рядом весьма простого вида. Поэтому при вычислениях никаких проблем не возникает. Правильность определения осей, вокруг которых поворачивается тело, проявляется в том, что скорости прецессии и собственного вращения оказываются знакопостоянными. Напомним, что в известных решениях знакопостоянна только скорость прецессии, т.е. в этих решениях правильно угадана только одна из двух осей поворота. Из решения [2] следует, что формально устойчивые решения, тем не менее, практически могут оказаться неустойчивыми, если некий параметр оказывается достаточно малым (границе раздела отвечает нулевое значение параметра). В этом случае тело может перескочить из одного устойчивого режима вращения на другой устойчивый режим в результате сколь-угодно малых и кратковременных внешних воздействий (удар малого метеорита).

Получено (1996, 2003) новое решение [3, 4] классической задачи о вращении твердого тела с трансверсально изотропным тензором инерции в однородном поле тяготения (случай Лагранжа). С формально-математической точки зрения решение этой задачи известно очень давно и приведено во многих книгах и учебниках. Тем не менее, известное решение трудно поддается ясному физическому истолкованию и неоправданно сложно описывает некоторые простые типы движения. В случае быстровращающегося гироскопа получено практически точное решение в Элементарных функциях. Показано [4], что выражение для скорости прецессии, найденное по элементарной теории гироскопов дает ошибку в главном члене.

В рамках динамики абсолютно твердого тела найдено (2003) объяснение того факта, что скорость вращения Земли не постоянна, а ось Земли слегка колеблется [5]. Обычно этот факт объясняется тем, что Земля не может считаться абсолютно твердым телом. Однако, если направление динамического спина немного отличается от направления оси Земли, ось Земли будет прецессировать вокруг вектора динамического спина и, следовательно, будет немного меняться угол между осью Земли и плоскостью эклиптики. При этом смена суток на Земле будет определяться не вращением Земли вокруг собственной оси, а прецессией ее оси.

  1. Zhilin P.A. A New Approach to the Analysis of Euler-Poinsot problem // ZAMM Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) SI, 133-134.
  2. Zhilin P.A. A New Approach to the Analysis of Free Rotations of Rigid Bodies // ZAMM Z. angew. Math. Mech. 76 (1996), 4. P.187-204.
  3. Zhilin P.A. Rotations of Rigid Body with Small Angles of Nutation // ZAMM Z. angew. Math. Mech. 76, (1996). S. 2. P. 711-712.
  4. Жилин П.А. Вращение твердого тела с неподвижной точкой: случай Лагранжа // Доклад на XXXI летней школе “Актуальные проблемы механики” (В кн. Жилин П.А. Актуальные проблемы механики. Сб. статей. Т. 1. СПб.: Издание ИПМаш РАН. 2006. 306 с.)
  5. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с.